Hubungan dan fungsi matematika

Assalamu'alaikum wr.wb

sebelum kita membahas tentang hubungan dan fungsi saya akan menjelaskan tentang bilang bilangan riil supaya lebih paham dalam pembahasan hubungan dan fungsi. 

PENGERTIAN GARIS (LINES) DAN TITIK (POINTS) ,

PASANGAN BERURUTAN (ORDERED PAIRS),

KUADRAN (HYPERPLANES) SERTA TITIK (POINTS)

A. GARIS (LINES) DAN BILANGAN RIIL (THE REAL NUMBERS)

setiap garis lurus (the real line) menyatakan :

a. Himpunan semua bilangan riil (dengan notasi R) – the set of all real numbers,dan setiap bilangan riil merupakan titik di atas garis lurus, karena garis lurus memuat semua bilangan riil (the real numbers) yang terdiri dari :

1)      Bilangan rasional (rasional numbers) yang terdiri dari :

a)      Bilangan bulat (integers)

b)      Bilangan pecahan (fractions)

2)      Bilangan irasional (irrational numbers).

b. Suatu variabel,  variabel adalah sesuatu yang dapat dinyatakan dengan angka atau nilai dari bilangan riil.

B. PASANGAN BERURUTAN (ORDERED PAIRS)

1.  Pasangan tidak berurutan (unordered pairs)

Set {a, b} = {b, a} → merupakan dua set yang sama karena mempunyai elemen yang sama, tetapi tanpa memperdulikan kesamaan urutan atau order elemen masing-masing set. Pasangan elemen setiap set itu disebut pasangan variabel yang tidak berurutan (unordered pairs).

2. Pasangan berurutan (ordered pairs)

Set {a, b} ≠ {b, a} → merupakan dua set yang tidak sama (walaupun memiliki elemen yang sama), karena urutan atau order elemen masing-masing set tidak sama, kecuali apabila a = b. Pasangan elemen pada setiap elemen itu disebut pasangan variabel yang berurutan (ordered pairs).

 Contoh :

a)      Menyebut anggota dalam suatu pertandinagan tanpa urutan (unordered pairs). Tetapi menyebut pemenang 1, 2, dan seterusnya harus berurutan (ordered pairs).

b)      Untuk set dengan elemen ordered pair, dimana elemen pertama untuk umur dan elemen kedua untuk berat, tentu akan beda antara set {45, 60} dan {60, 45}.

c)      Pasangan bilangan (koordinat) pada 4 kuadran atau disebut the Cartesian Product.

C. ORDERED PAIRS PADA KUADRAN (THE XY PLANE)

Dua variabel, misal variabel x dan y, yang dinyatakan oleh dua garis lurus atau sumbu yang berpotongan, yaitu sumbu horizontal untuk variabel x dan sumbu vertikal untuk variabel y, menciptakan 4 (empat) kuadran (quadrant) I, II, III, IV, atau disebut the xy plane, dimana :

1)      Kudran I terdapat jumlah tak terbatas dari ordered pairs dengan urutan (x,y).

2)      Kuadran II terdapat jumlah tak terbatas dari ordered pairs dengan urutan (-x,y)

3)      Kuadran III terdapat jumlah tak terbatas dari ordered pairs dengan urutan (-x,-y)

4)      Kuadran IV terdapat jumlah tak terbatas dari ordered pairs dengan urutan (x,-y)

Diagram .1 THE (COORDINATE) XY PLANE

 ATAU THE CARTESIAN PRODUCT

Titik-titik kombinasi dari titik x pada sumbu x dan titik y pada sumbu y secara berurutan, disebut the xy ordered pairs.

Misal, titik kombinasi atau the xy ordered pair (2,4) berbeda dengan the xy ordered pair (4,2).

3. Himpunan ordered pairs pada kuadran bersifat tak terbatas.

Set ordered pairs pada kuadran atau disebut the Cartesian product (named after Descartes). The Cartesian product juga disebut direct product, karena elemennya berupa ordered pairs yang merupakan produk dari set x dan set y a (x, y), dimana set x dan y adalah set dari bilangan riil, dengan elemen pertama dari variabel x dan elemen kedua dari variable y, atau ditulis (x, y). Oleh karena itu, ordered pair (1, 2) beda dengan (2, 1).

Produk dari set x dan set y mempunyai jumlah yang tak

terbatas, sehingga the Cartesian product itu merupakan suatu set bersifat tak terbatas dari ordered pair atau titik pada kuadran.

Notasi dari the Cartesian product sebagai berikut :

1)      The Cartesian product dengan set (ordered pairs) atau titik pada kuadran

yang memiliki 2 elemen (2 dimensi) dari set x dan set y, mempunyai notasi

the Cartesian product adalah R * R atau R² :

x * y = {(1, 2), (2, 1), (4, 1)}

atau

x * y = {a, b) | a  x dan b  y}

dimana a dan b adalah elemen dari bilangan riil (real

numbers)

x * y = {a, b) | a  R dan b  R}

dimana x dan y adalah set dari R

2)      The Cartesian product dengan set (ordered pairs) atau titik yang memiliki

3 elemen (3 dimensi) dari sumbu x, sumbu y dan sumbu z, mempunyai

notasi the Cartesian product adalah R * R * R atau R³ :

x * y * z = {a, b) | a  x, b  y, c  z}

atau

x * y * z = {a, b) | a  R, b  R, c  R}

3)      The Cartesian product dengan ordered pairs atau titik pada kuadran

dengan n elemen (n dimensi) mempunyai notasi Rⁿ.

HUBUNGAN (RELATIONS) DAN FUNGSI (FUNCTION)

A. HUBUNGAN (RELATIONS)

Pada the Cartesian product Sebagaimana dibahas di atas, The Cartesian product, setiap ordered pair (x, y) atau x * y merupakan satu titik, atau sebaliknya. Jadi terdapat hubungan yang bersifat unik atau satu-satu dan timbal balik (double uniqueness). Dengan demikian, terdapat hubungan satu-satu (one-to-one correspondence) antara set ordered pairs dan set titik  pada the Cartesian product. Setiap titik atau the Cartesian product menunjukkan terjadi hubungan (relation) :

Antara setiap bilangan riil atau variabel x dengan bilangan riil atau variabel y, jadi, terdapat set (x, y)  sebagai dari hasil hubungan (asosiasi) atas dasar suatu aturan dari setiap bilangan atau angka x dengan bilangan atau angka y.

Misal : Titik (x, y) = (1,2) di kuadran I, menunjukkan bahwa atas dasar suatu aturan, maka untuk x =1 mempunyai hubungan dengan y = 2. Juga titik (x, y) = (−2, 1) di kuadran II menunjukkan hubungan x = − 2 dengan y = 1 berdasarkan suatu aturan.

B. SIFAT HUBUNGAN :

SATU-SATU (ONE-TO-ONE) ATAU BUKAN Diagram 2 HUBUNGAN (RELATION) DAN FUNGSI (FUNCTION)

 Nilai dari set y hasil dari hubungan dengan setiap bilangan atau nilai dari x ? Penentunya adalah suatu aturan, yang akan menentukan salah satu diantara dua jenis hubungan :

1. Hubungan bukan bersifat satu-satu atau kausal.

Dengan hubungan ini, maka atas dasar suatu aturan satu bilangan dari set x akan berhubungan atau menghasilkan lebih dari satu bilangan dari set y. Jadi hubungan tidak bersifat kausal atau satu-satu (one-to-one relation). Suatu aturan dimaksud disebut sebagai hubungan (relation atau a multivalued function).

 Contoh : Pada Diagram 2. di atas, terdapat set {x, y| y ≤ x} yang antara lain termasuk pairs atau titik (1,0), (1,1), (1,−4), sehingga untuk satu bilangan x = 1 menghasilkan hubungan dengan 3 bilangan y yaitu y = 0, y = 1 dan y = −4. Dengan set atau aturan y ≤ x dimaksud, maka hubungan y terhadap x bukan bersifat satu-satu atau kausal, jadi hanya merupakan hubungan saja. Area dari set dimaksud di bawah garis y = 2x.

2. Hubungan merupakan fungsi bila hubungan bersifat satu-satu atau kausal (one-to-one relation or correspondence, atau unique relation)

Dengan hubungan ini, maka atas dasar suatu aturan satu bilangan dari set x akan berhubungan atau menghasilkan hanya satu bilangan dari set y. Jadi hubungan bersifat kausal atau satu-satu (one-to-one relation). Suatu aturan dimaksud disebut sebagai fungsi (function) atau a single-valued function.

Contoh ; Pada Diagram 2. di atas, set {(x, y) | y = 2x} adalah suatu set ordered pairs termasuk (1,2), (0,0) dan (−1, −2), menghasilkan hubungan satu-satu atau kausal, dimana untuk x = 1 hanya menghasilkan y = 2, x = 0 hanya menghasilkan y = 0, x = −1 hanya menghasilkan y = −2. Dengan set atau aturan y = 2x dimaksud, maka hubungan y terhadap x bersifat satu-satu atau kausal (one-to-one relation or correspondence).

3. Fungsi juga berbentuk hubungan satu bilangan y terhadap lebih dari satu x

Diagram 3. di bawah menunjukkan hubungan bersifat fungsi, tetapi dimana lebih dari satu bilangan x menentukan hanya satu nilai y. Hubungan ini tetap bersifat satu-satu atau kausal (one-to-one relation) antara x menentukan y. Diagram 3 Fungsi Dengan Angka y Lebih Dari Satu y

C. PENGERTIAN DAN PENULISAN FUNGSI

1. Definisi fungsi

Berdasarkan uraian pada butir B. di atas, maka definisi fungsi sebagai berikut :

Fungsi adalah set dari ordered pairs (x, y) dimana setiap bilangan x menentukan hanya satu bilangan y. Seperti dikemukakan dalam buku Chiang and Wainwright (Book 1) halaman 17 : A function is therefore a set of ordered pairs with the property that any x value uniquely determines a y value. This definition of function corresponds to what would be called a single-valued function in the older terminology. What was formerly called a multivalued function is now referred to as a relation or correspondence.

2. Penulisan (notasi) fungsi

Fungsi, misalnya untuk 2 variabel x dan y, ditulis dengan notasi y = f(x) → baca y adalah fungsi dari x. Jadi y sebagai variabel yang ditentukan (dependent variable,), sedangkan x adalah variabel penentu (independent variable) terhadap y.

3. Fungsi merupakan transformasi atau mapping

Fungsi, seperti y = f(x), juga disebut a mapping or transformation yang menunjukkan hubungan antara y dengan x, dimana :

 Notasi f merupakan suatu aturan (a rule) yang mentransformasi (transformed atau mapped) set x ke dalam set y, yang ditulis dengan notasi :

f : x → y dimana :

a)      Tanda → menyatakan transformasi (mapping atau transforming).

b)      Notasi f menandakan (specification) suatu aturan (a rule) dari mapping atau transforming.

Selain huruf kecil f, untuk notasi juga digunakan huruf lain seperti g dan z, huruf besar F dan G, huruf Yunani (Greek) kecil seperti φ (phi) ψ (psi) atau huruf besar phi Φ dan psi Ψ. Pada fungsi seperti y = f(x), maka :

Diagram 4 DOMAIN DAN RANGE SERTA RULE f y

► Variabel x disebut independent variable yaitu variabel penentu.

Sedangkan, set dari semua bilangan atau angka dari variabel x disebut the domain of the function. Jadi set ini juga merupakan subset dari the set of all real numbers.

► Variable y disebut dependent variable yaitu variable yang ditentukan.

Sedangkan, angka y  hasil dari mapping suatu angka (value) x, disebut the image of that x value. Set dari semua images disebut the range of the function. angka dari variabel x disebut the domain of the function.

► Catatan :

 Domain dan range y = f(x) mencerminkan variabel-variabel dan fungsi dalam ilmu ekonomi, yaitu terbatas pada bilangan positif (nonnegative real numbers). Jadi diagram dan kurva digambar pada kuadran I.

 Dalam buku Henderson and Quandt (Book 3) halaman 363-364 dikemukakan :

The relation y = f(x) (read y is a function of x”) means that a rule exists by which it is possible to associate values of the variable y with values of the variable x. Examples are y = 1/x; y = 3x², y = ln sin x and y =1 when x is an odd integer and y = 0 for any other value of x. In each case, values of y correspond to given values of x according to the rule of association specified in the form of the function. A function may not be defined for all possible values of x. Examples : y = 1/x cannot be evaluated for x = 0. y = x², it has all the real numbers as its domain. Bahan 1.3. Jenis dan bentuk fungsi

A. JENIS FUNGSI ATAS DASAR

LETAK VARIABEL BEBAS (INDEPENDENT VARIABLES)

Berdasarkan letak variabel bebas (independent variables), terdapat 2 jenis fungsi

sebagai berikut.

1. Fungsi eksplisit (explicit function)

Fungsi eksplisit explicit function) adalah fungsi dimana (variabel bebas)

independent variables berada di sebelah kanan, karena itu independent

variables juga disebut right hand variables.

Misal :

 Fungsi : y = f(x)

 Bentuk fungsi explicit : y = x²  ; y = a + bx   ; y = ³√ x

 perbedaan pengertian fungsi dan bentuk fungsi

► Fungsi ditulis dengan dependent variable di sisi kiri, aturan

fungsi seperti f, serta dalam kurung sejumlah independent

variables. Contoh : y = f(x); Y = F(X, Z, W)

► Bentuk fungsi adalah fungsi dalam bentuk detil termasuk :

 Bentuk aturan (misal berbentuk fungsi polynomial

atau bukan)

 Variabel bebas (independent variable)

 Konstan atau bilangan tetap yang berdiri sendiri tanpa diikuti

independent variable

 Koefisien atau bilangan tetap di depan atau diikuti oleh suatu

indepedent variable.

 Parameter yaitu koefisien dalam huruf kecil

2. Fungsi implicit (implicit function)

Fungsi implisit (implicit function) adalah fungsi dimana independent variables

bersama-sama dependent variable berada di sebelah kiri, sedangkan di kanan

angka 0.

Misal :

 Fungsi : g(y,x) = 0

 Bentuk fungsi implicit : ax + b – y = 0;    x² + y² = 0;

ey + y – x + ln x = 0;   y  mx  b = 0

Catatan :

 Setelah dilakukan penyelesaian (solving), an implicit function bisa diubah

menjadi explicit function.

Tetapi tidak semua implicit functions dapat diubah menjadi explicit

functions, karena x dan y tidak dapat diperoleh atau the implicit function

tidak dapat diselesaikan.

Contoh, the implicit function ey + y – x + ln x = 0 karena x dan y tidak dapat diselesaikan dan diperoleh.

 Sebaliknya, setiap explicit function bisa diubah menjadi an implicit function.

Contoh, explicit function y = 3x⁴ + 2 sin x -1 diubah menjadi implicit function y - 3x⁴ + 2 sin x -1 = 0.

B. JENIS FUNGSI ATAS DASAR

JUMLAH VARIABEL BEBAS (INDEPENDENT VARIABLES) Berdasarkan jumlah independent variables, di bawah dikemukakan jenis fungsi dengan 1 (satu) hingga 4 (empat) independent variables.

1. Fungsi dengan 1 (satu) variabel bebas (independent variable)

Misal dengan 1 (satu) independent variabel x, maka penulisan fungsi : y = f(x)

 2. Fungsi dengan multi independent variables

 Multi variabel bisa 2 (dua) atau lebih variabel, jadi n variable dimana n ≥ 2.

Misal :

Dengan 2 (dua) independent variables x1 dan x₂, maka penulisan fungsi :

dan Y = f(x¹, x²)

 Dengan 3 independent variables n variabel xj yaitu x1 hingga xn^, maka penulisan fungsi :

y = f(x1, x2, ..., xn)

BENTUK FUNGSI EKSPLISIT (EXPLICIT FUNCTIONS) DENGAN

1 (SATU) VARIABEL BEBAS (INDEPENDENT VARIABLE)

3 (TIGA) BENTUK FUNGSI DENGAN 1 (SATU) INDEPENDENT VARIABLE

1. Fungsi polinomial (polynomial functions)

2. Fungsi rasional (rational functions)

3. Non algebraic or transcendental functions

B. FUNGSI POLINOMIAL (POLYNOMIAL FUNCTIONS)

1. Bentuk umum fungsi polynomial (polynomial function) mempunyai :

 Hanya satu jenis independent variable, misal variabel x

 Sejumlah atau berbagai term atau factor di sisi kanan :

 Term pertama merupakan bilangan konstan

 Term berikutnya terdiri dari :

► Koefisien atau bilangan di depan independent variable

► Independent variable dengan pangkat

Bentuk umum polynomial function dengan jumlah sebanyak N (i = 0, 1, 2, …, N) berikut : Y = f(X) = a0 + a1 X + a2 X² + a3 X³ + … + a^N X^N dimana :

 a0 adalah konstan atau bilangan tetap

 a1, a2, ..., aN masing-masing adalah koefisien

2. Jenis fungsi polinomial (polynomial function)

Jenis dari fungsi polynomial tergantung dari banyaknya term atau faktor yang dinyatakan oleh pangkat dari independent variable pada term terakhir, sebagai berikut :

 Untuk i atau j = 0, maka fungsi polynomial merupakan fungsi konstan (constant functions)

 Untuk i atau j = 1, maka fungsi polynomial merupakan fungsi linear (linear functions)

 Untuk i atau j = 2, maka fungsi polynomial merupakan fungsi kuadratik (quadratic functions)

 Untuk i atau j = 3, maka polynomial merupakan fungsi kubik (cubic functions)

 Untuk i atau j = 4, maka polynomial merupakan fungsi kuartik (quartic functions)

3. Fungsi konstan  fungsi polinomial pangkat 0

Fungsi konstan mempunyai sisi kanan yang terdiri dari konstan dan independent variable berpangkat 0 (nol). Contoh bentuk fungsi konstan dan diagramnya :

y = f(x) = 7x0 = 7*1 = 7

FUNGSI KONSTAN (CONSTANT FUNCTION)

1. Fungsi linear = fungsi polinomial pangkat 1, Fungsi linear yang merupakan fungsi polinomial pangkat 1 mempunyai sisi kanan yang terdiri dari konstan atau bilangan tetap, 1 independent variable dengan pangkat 1 beserta koefisien (angka) terkait dengan independent variable dimaksud.

2. Fungsi kuadratik = fungsi polinomial pangkat 2, Fungsi kuadratik yang merupakan fungsi polinomial pangkat 2, mempunyai sisi kanan yang terdiri dari konstan atau bilangan tetap, 2 independent variable masing-masing dengan pangkat 1 dan 2 beserta koefisien (angka) terkait dengan independent variable dimaksud. Contoh bentuk fungsi kuadratik dan diagramnya :

 Bentuk fungsi : z = g(w) = b0 + b1 w + b2 w2

 Diagram fungsi berupa kurva hill parabola atau valley parabola

FUNGSI KUADRATIK (QUADRATIC FUNCTION)

 Gambar diagram atau kurva fungsi kuadratik :

► F(P) = P2 + 4P − 5

► Q = 4 − 4 P2

► AVC = C(Q) = a + b Q + c Q2

► MC = M(Q) = a + 2b Q + 3c Q2

► TR = 7Q − 0,01 Q2

3. Fungsi kubik =fungsi polinomial pangkat 3, Fungsi kubik yang merupakan fungsi polinomial pangkat 3 mempunyai sisi kanan yang terdiri dari konstan atau bilangan tetap, 3 independent variable masing-masing dengan pangkat 1, 2 dan 3 beserta koefisien (angka) terkait dengan independent variable dimaksud.

C. FUNGSI RASIONAL (RATIONAL FUNCTIONS)

Rational function adalah rasio antara dua fungsi di pembilang dan penyebut, seperti di bawah ini. Bentuk fungsi rasional dan diagramnya :           X − 1

 Contoh 1 :                                        Y = f(X) = −−−−−−−−−−−−

X2 + 2 X + 4

 Contoh 2 :

y = a/x atau XY = a

Fungsi ini berbentuk a rectangular hyperbola seperti pada diagram di

bawah, serta banyak digunakan dalam teori ekonomi

FUNGSI HIPERBOLA

A RECTANGULAR HYPERBOLA)

D. NON ALGEBRAIC OR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS

Semua fungsi dalam bentuk polynomial, termasuk rational functions, adalah

algebaraic functions.

Nonalgebraic functions terdiri dari tiga jenis : (1). Exponential functions; (2).

Logarithmic functions; (3). Trigonometric (or circular) functions).

1. Fungsi pangkat atau eksponensial

Fungsi pangkat adalah fungsi dimana independent variable menjadi pangkat dengan basis (base) :

→ a real number b atau 8, seperti : y = bx; atau, y = 8x - √x,

atau,

→ an irrational number e = 2,7182828 … (lihat penjelasan di bawah)

Contoh bentuk exponential functions dan diagrammnya :

 Bentuk fungsi dengan base b dan e :

y = f(t) = b^t   vs. y = 2b^t    vs. y = b2 ^t   dengan base e (natural exponential functions) e : y = et atau ditulis y = exp(t)

y = e3t atau y = exp(3t); y = ert atau y = exp(rt)

 Diagram fungsi

Diagram 2 FUNGSI EKSPONENSIAL (EXPONENTIAL FUNCTION)

(Y = bX dan Y = b2X serta Y = 2bX dimana b > 1)

Diagram 3 FUNGSI EKSPONENSIAL (Y = eX) VS. FUNGSI LOGARITHMA (LOGARITHMIC FUNCTION) – (X = ln Y = loge Y)

2. Fungsi logarithma

x = logb y dari y = b^x  atau x = ln y dari y = e^x

 Pengertian

Logaritma adalah pangkat terhadap basis (base) b atau e untuk memperoleh suatu angka y, (y) : 16 = 4² → 2 = log4 16  

Jadi pangkat 2 merupakan logaritma dari 16 dengan basis 4

y = bt → t = logb y

Jadi pangkat t merupakan logaritma dari y dengan basis b

y = et → t = loge y = ln y  dan disebut the natural log

Jadi pangkat t merupakan logaritma dari y dengan basis e

Misal :

 log10 1000 = log10 103 = 3

 log10 0,01 = log10 10-2 = -2

 ln e3 = loge e3 = 3

 ln 1/e = ln e−1 = −1

AKAR PERSAMAAN

(EQUATION ROOTS)

A. ROOTS UNTUK PERSAMAAN (FUNGSI) KUADRATIK

(QUADRATIC FUNCTION OR EQUATION)

1. Fungsi kuadratik :

0 = ax2 + bx + c → dengan contoh :

0 = P2 + 4 P − 5 → dimana : a = 1, b = 4, c = − 5

yaitu dengan menjadikan sisi kiri sama dengan 0 (nol)

Kemudian, gunakan rumus :

x1, x2 =

a

b b ac

2

( 4 ) 2 1/ 2   

Catatan :

 Sepanjang (b2 – 4ac)1/2 > 0, maka akan diperoleh dua bilangan riil

x1 dan x2 yang berbeda (different roots).

 Tapi jika (b2 – 4ac)1/2 = 0, maka akan diperoleh x1 = x2 = − b/2a

(repeated roots).

 Namun jika (b2 – 4ac)1/2 < 0, maka tidak akan diperoleh real valued

roots x1 dan x2, karena merupakan hasil kuadrat dari bilangan negatif

yang tidak mungkin dalam sistem bilangan riil .

B. ROOTS UNTUK PERSAMAAN (FUNGSI) KUBIK

(CUBIC FUNCTION OR EQUATION)

Fungsi kubik (cubic function)

x3 − x2 − 4 x + 4 = 0 → mempunyai factoring

(x − 1)(x + 2)(x − 2) = 0 → sehingga

x1 = 1, x2 = − 2, x3 = 2

C. PEDOMAN CARI ROOTS

1. Prinsip umum

Untuk fungsi polynomial n degree :

y = f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + … + aN xn

maka terdapat n roots yaitu x1, x2, x3, ..., xn

2. Theorem I

Apabila semua koefisien dan konstan pada fungsi polynomial adalah bilangan

bulat (integers) dan koefisien dari xⁿ adalah 1 (satu), maka apabila integer

roots dapat diselesaikan atau diperoleh, setiap roots adalah pembagi (a

divisor) dari parameter a0.

3. Theorem II

Tetapi apabila pada fungsi polynomial terdapat koefisien dalam desimal atau rasio dari integers r dan s, namun tanpa pembagi yang sama (a common divisor) kecuali 1 (satu), maka r adalah divisor dari a0 dan s adalah divisor dari an.

 4. Theorem III

Selanjutnya, apabila penjumlahan dari semua angka koefisien fungsi polynomial menjadi 0 (nol), yaitu a0 + a1 + a2 + a3 + … + aN = 0, maka setiap root dari persamaan fungsi adalah 1 (satu), yaitu x = x² = x³ = … = xⁿ = 1.